다각형의 보로노이 분할

• 영문명: Voronoi Partitions on Polygons
• 발행기관: 한국과학영재교육학회
• 저자명: 조강현(Jo, Kanghyeon) 이 강(Lee, Kang) 부덕훈(Boo, Deokhoon)
• 간행물 정보: 『과학영재교육』제11권 제3호, 255~274쪽, 전체 20쪽
• 주제분류: 사회과학 > 교육학
• 파일형태: PDF
• 발행일자: 2019.12.30

국문 초록

네 점 A(0,c), B(－c,0), C(0,－c), D(c,0)을 꼭짓점으로 하는 정사각형 □ABCD에 대하여 네 점 P₁(0,a), P₂(－b,0), P₃(0,－b), P₄(b,0)을 생성점으로 하는 보로노이 다이어그램에서 점 P₁이 y축을 따라 움직일 때, □ABCD의 보로노이 분할에서 점 P₁을 포함하는 영역의 모양과 넓이를 구하였다. 그리고 정n각형의 꼭짓점과 중심을 생성점으로 하는 보로노이 다이어그램에서 보로노이 다각형도 정n각형이 되고 넓이가 1/a² S, (S 는 주어진 정n각형의 넓이, a=2cos π/n)이 됨을 증명하였다. 보로노이 다이어그램을 이용하는 보로노이 게임을 개발하였다. 정사각형 영역 S 의 내부의 네 점 P, Q, －P, －Q를 생성점으로 하는 S 의 보로노이 분할에서 P, Q를 포함하는 영역 S(P), S(Q)의 넓이가 넓은 참가자에게 승점을 부여하고, 5회의 성적을 합하여 게임의 승자를 결정하였다. 이 게임에서 두 번째 경기자 Q는 첫 번째 경기자 P의 선택을 모방하면 동점이 되도록 할 수 있다. 따라서 게임을 5회까지 진행하는 동안 두 번째 참가자 Q의 전략은 4회까지 무승부로 진행하고 마지막 회인 5회에서 첫 번째 경기자 P의 선택에 따라 승리하거나 무승부가 되도록 선택하는 것이다. 따라서 이러한 경우 첫 번째 경기자 P는 우승할 수 없으며 무승부가 최선의 결과이다. 실제로 4회에서 P=(－n,n), Q=(n,n)이고 두 사람이 동점이면, Q는 승리할 수 없으며 게임은 무승부가 됨을 증명하였다. 이 연구를 진행하면서 동적 기하소프트웨어인 GeoGebra를 사용하여 보로노이 다이어그램을 그리고 보로노이 분할의 넓이를 계산하였다. 그리고 GeoGebra를 사용하는 “보로노이 게임판”을 제작하여 사용하였으며 게임의 승패를 판단하고 승리전략을 구하는데 도움이 되었다.

영문 초록

We investigate the Voronoi diagram with generating points P₁(0,ａ), P₂(－b,0), P₃(0,－b), P₄(b,0) and the Voronoi partition of the square □ABCD with vertices 네 점 A(0,c), B(－c,0), C(0,－c), D(c,0) where c>b>0, ａ is a real umber. We focus the region R₁ in the Voronoi partition containing the point P₁. The region R₁ varies according to the constants ａ, b, c, and we find the shape and evaluate the area of R₁. And we study the Voronoi diagram whose generating points are the vertices and the center of a regular n-polygon then we prove that the Voronoi olygon of the regular polygon is also a regular polygon with area 1/a² S, where S is the area of the polygon and a=2cos π/n. We develop Voronoi game which use the Voronoi diagram on a square S. Two players P,Q play this game by moving the points P,Q along the lattice points inside S, where P is a point of the 2nd quadrant inside S and Q is a point of the 1st quadrant inside S . In each round, the winner is determined by the area of the region S(P), S(Q) of the Voronoi partition determined by the generating point P, Q, －P, －Q, and after 5 rounds the winner of the game will be determined. But the first player P can not be a winner of this game, so the best plan of P is to end the game in a tie. We prove that if this game is in a tie after round 4 and P=(－n,n), Q=(n,n) in round 4, then this game will end in a tie. In this paper, we use the software “GeoGebra” to draw the Voronoi diagrams and evaluate the area of the Voronoi partitions.

목차

Ⅰ. 서 론

Ⅱ. 이론적 배경

Ⅲ. 연구방법 및 절차

Ⅳ. 연구결과

Ⅴ. 결론 및 제언

키워드

보로노이 다이어그램(Voronoi diagram) 보로노이 분할(Voronoi partition) 보로노이 게임(Voronoi game) 지오지브라(geogebr)