연속체의 역사적, 수학적 분석 - 연속체의 구성과 무한분할을 중심으로-

• 영문명: A Historical and Mathematical Study on Continuum - Focusing on the Composition and Infinite Division -
• 발행기관: 대한수학교육학회
• 저자명: 백승주(Baek, Seungju) 최영기(Choi, Younggi)
• 간행물 정보: 『수학교육학연구』제30권 4호, 575~599쪽, 전체 25쪽
• 주제분류: 사회과학 > 교육학
• 파일형태: PDF
• 발행일자: 2020.11.30

국문 초록

본 연구는 연속체의 구성과 무한분할을 중심으로 역사적, 수학적 분석을 하였다. 역사적 분석의 결과 첫째, 수학자들은 연속체의 구성과 무한분할에서 제논의 ‘다수의 역설’과 관련된 문제에 대해 고심하였음을 알 수 있었다. 둘째, 역사적으로 무한소적 관점이 자주 등장하였다. 셋째, 기하학적 문제였던 연속체의 난제는 기하학만으로는 설명되지 않았으며 해석학의 산술화로 직선이 실수집합과 동형이 된 후에 수학적인 해답이 가능해졌다. 연속체에 대한 수학적 분석으로 연속체의 구성과 무한분할에 대한 질문을 담고 있는 제논의 ‘다수의 역설’은 실수의 비가산성과 르벡 측도의 가산합(countable additivity)의 성질에 의존하여 설명이 가능함을 알았다. 또한 직선을분할할 때, 점들에 이르도록 분할하는 것은 적절하지 않음을 확인하였다. 본 연구의 역사적, 수학적 분석은 학교수학에서 도형의 넓이, 부피 및 정적분과 관련하여 연속체의 구성과 무한분할을 다룰 때, 학생들이 인지적 어려움을 겪을 수도 있으며, 이들에 대한 수학적 설명은 학교수학의 수준에서 쉽지 않음을 보여준다. 연속체는 학교수학의 극한, 미적분과 밀접하게 관련된 개념으로 본 연구의 역사적, 수학적 분석은 극한과 미적분의 교수학습방안을 위한 기초 연구가 될 수 있다.

영문 초록

This study conducted historical and mathematical analyses of the composition of continuum and infinite division. Regarding the results of the historical analysis, first, it can be seen that mathematicians struggled with the problems related to Zeno’s “paradox of plurality” in the composition and infinite division of the continuum. Second, historically, infinite small appeared frequently. Third, the problem of continuum, which was a geometric problem, was not explained by geometry alone, and mathematical answers to this problem became possible after the straight line became homomorphic with the real set, following the arithmetization of mathematics. Through mathematical analysis, Zeno's “paradox of plurality”, which includes questions about the composition and infinite division of a continuum, could be explained depending on the uncountability of real numbers and the countable additivity of Lebesgue measure. In addition, it was confirmed that it is inappropriate to divide a straight line to a point. The historical and mathematical analyses of this study suggest that students may have cognitive difficulties when dealing with the composition and infinite division of a continuum in relation to area, volume, and integral in school mathematics. The continuum is a concept closely related to the limit and calculus of school mathematics, and the historicalㆍ mathematical analysis of this study could serve as a foundation for teaching and learning plans of limits and calculus.

키워드

연속체 제논 다수의 역설 무한분할 실수의 비가산성 르벡 측도 Continuum Zeno Paradox of Plurality Infinitely Divisible Uncountability of Real Number Set Lebesgue Measure