Extended Quotient and Remainder Theorem in the Polynomial Division

• 발행기관: 제주대학교 교육과학연구소
• 저자명: 송석준(Song Seok-zun) 이정현(Lee Jung-hyun)
• 간행물 정보: 『교육과학연구』제15권 제1호, 129~144쪽, 전체 16쪽
• 주제분류: 사회과학 > 교육학
• 파일형태: PDF
• 발행일자: 2013.05.31

국문 초록

이 연구의 목적은 다항식 f(x)를 1차 다항식 g(x)=(x-b) 형태로 나눌 때 그 몫과 나머지를 구하는 알려진 정리를, 보다 복잡한 형태의 n차 다항식 g(x)=(x-b)m 형태로 확장하여 나누었을 때 몫과 나머지를 구하는 방법을 연구하고자 한다. 최근에 多項式의 나눗셈에 대한 硏究는 컴퓨터 計算의 빠른 발달로 인하여, f(x)=Σi=0naixi를 g(x)=Σi=1mbixi(n≥m)로 나눌 때 몫 q(x)=Σi=0n-mqixi와 나머지 r(x)=Σi=0n-1rixi의 係數들을 구하기 위한 빠른 計算 方法을 찾는 問題로 변화되고 있다. 參考文獻 (Bini and Pan, 1986)에서 D. Bini와 V. Pan은 參考文獻 (Bini, 1984), (Borodin, Cook and Pippenger, 1983), (Horn and Johnson, 1985), (Schonhage, 1982) 들에서 硏究되어 알려진 여러 가지 나눗셈 計算方法을 소개하고 자신들이 개발한 計算方法과 比較分析하였다. 이러한 나눗셈 計算方法들로부터, 나머지 定理와 관련된 多項式의 확장된 나눗셈 計算方法을 硏究할 必要性을 認識하였다. 곧 1차식인 g(x)를 m차의 多項式 (x-b)m으로 나눗셈 定理의 확장을 시도하여 몫과 나머지를 計算하였다. 더욱이 g(x)를 (x-b1)m1(x-b2)m2… (x-bs)ms으로 더 확장하여 몫과 나머지를 구하는 理論을 정립하고 이를 行列式의 計算法으로 證明하였다. 그 證明方法은 行列 및 行列式을 사용하였다.

영문 초록

There have been many researches on the polynomial division. With the fast development of computer calculation, the classical problem of a polynomial division with a remainder has been changed to find fast algorithms to computing the coefficients of the quotients q(x)=Σi=0n-mqixi and of remainder r9x)=Σi=0m-1rixi on the division f(x)=Σi=0naixi by (x)=Σi=1mbixi, n≥m, In (Bini and Pan, 1986), D. Bini and V. Pan introduced various known polynomial division algorithms(see Bini, 1984; Borodin, Cook and Pippenger, 1983; Bordin, Gathen and Hopcroft, 1982; Schonhage, 1982), and compared them with their new algorithm. From these algorithms, we obtain motivation to consider extended division algorithm of polynomials related to the remainder theorem. In this article, we study the method to calculate the quotient and remainder in dividing f(x) by g(x) of degree higher than 1. Moreover, we use the determinant of coefficient matrix to obtain extended quotient and remainder theorems in a polynomial ring.

목차

Ⅰ. Introduction and Preliminaries

Ⅱ. The remainder on dividing f(x) by (x-b)m

Ⅲ. The quotient on dividing f(x) by (x-b)m

IV. The remainders on dividing f(x) by the factors of (x-b1)m1(x-b2)m2…(x-bs)ms

V. Extended Quotient-Remainder Theorem on F[x]

키워드

Division Algorithm Quotient Remainder Matrix Determinant 나눗셈 정리 몫 나머지 行列 行列式